Nata a Taranto il 7 maggio 2001, Francesca Quazzico è un difensore che, nonostante la giovane età, vanta già una buona esperienza nel massimo campionato.

Francesca si avvicina al calcio fin da bambina, giocando prima per l’Atletico Taranto poi per il San Cataldo, e infine si iscrive alla scuola calcio del Delfini Jonici di Taranto. Nel 2014 passa al Real San Giorgio, giocando come centrocampista. Nella stessa stagione viene chiamata dalla sezione regionale LND per rappresentare la Puglia nelle qualificazioni al Torneo delle Regioni.

Nel 2015 sceglie di vestire i colori del Pink Sport Time (attuale Pink Bari) e debutta ufficialmente in Serie A il 17 ottobre dello stesso anno. L’anno successivo la squadra retrocede in Serie B, campionato che vincerà proprio quella stagione e nel 2017 torna a giocare nella massima serie. Vista la giovane età di Francesca, per le tre stagioni con la maglia del Bari alterna presenze in prima squadra ed altre con la Primavera.

Quazzico ha vinto un campionato di Serie B e uno Primavera, entrambi con la Pink Bari.

Nel 2016 viene chiamata per uno stage con la nazionale U16, ma è l’anno successivo quando debutta ufficialmente con la maglia azzurra in un’amichevole con Norvegia. Nello stesso anno viene chiamata anche dall’U17 e tra il 2017 e 2018 è tra le giocatrici chiamate per la fase di qualificazione del Campionato Europeo di Lituania 2018. Attualmente veste la maglia della nazionale U19.